ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Цель настоящей работы – знакомство с явлением комптоновского рассеяния (эффект Комптона) и его закономерностями, проявляющимися при взаимодействии гамма-излучения с веществом. Практическая часть методического пособия включает работу с техникой и знакомство с методикой регистрации рассеянного излучения препарата цезия (изотоп ¹³⁷Cs) с использованием сцинтилляционного детектора.

Эффект Комптона или комптоновское рассеяние – рассеяние электромагнитной волны на свободном электроне, сопровождающееся уменьшением частоты данной волны (частичной потерей энергии) [1 - 5]. Эффект проявляется в случае больших частот рассеиваемого электромагнитного излучения (в области ионизирующих гамма-, рентгеновского излучения). Он проявлялся уже в первых опытах по рассеянию рентгеновских лучей на свободных электронах, но впервые с требуемой тщательностью был изучен в 1922-23 годах Артуром Холи Комптоном (A. Compton), в честь которого этот эффект и был назван. С исторической точки зрения, эффект Комптона явился одним из главных свидетельств в пользу корпускулярной природы электромагнитного излучения, поскольку с позиции классической электродинамики рассеяние с изменением частоты невозможно. Необходимо отметить, что результаты расчетов Комптона стали известны еще до появления уравнения Шредингера, которое является основополагающим в квантовой теории. Вместе с тем, эффект Комптона играет очень важную роль в физике конденсированного состояния [1 - 3, 5] и технологиях [4], связанных с использованием ионизирующих излучений. Последнее обусловлено тем фактом, что эффект Комптона является одним из основных механизмов, определяющих потери энергии при прохождении излучения через вещество. Как следствие, знание сути эффекта Комптона и его особенностей при взаимодействии ионизирующего излучения с веществом необходимы для понимания и решения практических вопросов в области физики конденсированного состояния [1 - 3, 5], технологий [4] и экологии [6].

Эффект Комптона относится к одному из основных механизмов взаимодействия гамма- и рентгеновского излучения с веществом. Кратко остановимся на перечислении этих механизмов и месте эффекта Комптона в этом контексте. Напомним, что гамма-излучение – это электромагнитное излучение, возникающее при переходе ядер из возбужденного состояния в основное. Диапазон длин волн гамма-излучения условно начинается с λ ≤ 2·10^-10 м (энергия соответствующих гамма-квантов Е_γ порядка 1 кэВ, 1 нм соответствует 1,26 кэВ), т.е. длина волны гамма-излучения часто значительно меньше межатомных расстояний. Современные ускорители могут создавать гамма-излучение с длиной волны около 10^-16 м, т.е. кванты с энергией порядка 20 ГэВ. Гамма-излучение плавно переходит в характеристическое рентгеновское излучение (λ > 2·10^-10 м), открытое в 1895 г. В.К. Рентгеном (W. K. Roentgen). Энергия гамма-квантов превосходит энергию химической связи E_b и энергию ионизации внешних оболочек атомов (~ 10 эВ). На практике наибольший интерес вызывают гамма-кванты с энергиями от десятков кэВ до сотен МэВ.

При прохождении пучка гамма-квантов через вещество происходит два процесса: поглощение и рассеяние гамма-квантов. Это приводит к ослаблению пучка квантов, не испытавших взаимодействия, по экспоненциальному закону, подобному закону Ламберта для оптического диапазона:

где µ – коэффициент ослабления, зависящий от энергии квантов и характеристик поглощающего вещества, d – толщина слоя вещества. В зависимости от характера расчетов, толщина поглощающего слоя может иметь размерность длины (µ входит как [длина]^-1) или размерность массы/площадь (µ входит как [площадь/масса]^-1). Взаимодействие гаммаквантов с электронами и ядрами можно рассматривать как индивидуальные взаимодействия между квантом и частицей. Возможность такого подхода обусловлена тем, что эффективный радиус взаимодействия гамма-кванта с точечным зарядом соизмерим с т.н. комптоновской длиной волны электрона Λ_e = h/(m·c) = 2,426·10^-12 м, которая значительно меньше средних расстояний между частицами вещества (10^-10 м). Процессы взаимодействия гаммаквантов с электронами вещества являются, как правило, преобладающими (исключением может служить эффект Мессбауэра [7]).

Процесс поглощения гамма-квантов включает в себя два механизма, фотоэффект и образование электрон-позитронной пары, при которых гамма-кванты полностью теряют энергию, т.е. «исчезают». Вероятность, например, фотоэффекта сильно зависит от энергии гамма-кванта E_γ и атомного номера Z. Процесс рассеяния включает в себя три основных механизма: комптоновское рассеяние (эффект Комптона), томсоновское рассеяние и рэлеевское рассеяние. В случае томсоновского и рэлеевского механизмов рассеяния длина электромагнитной волны не меняется, т.е. энергия гамма-квантов остается неизменной в процессе взаимодействия с веществом. Подобное рассеяние называется упругим. В случае комптоновского рассеяния, напротив, длина волны претерпевает изменение, и происходит частичная потеря энергия гамма-квантов (неупругое рассеяние). В отличие от процесса поглощения гамма-кванты при комптоновском рассеянии не исчезают. Вероятность эффекта Комптона слабо зависит от E_γ и Z.

Таким образом, определяющую роль в потерях энергии при взаимодействии гамма-излучения с веществом играют три механизма: фотоэффект, комптоновское рассеяние и образование пары электронпозитрон. Более подробное описание механизмов взаимодействия можно найти в работах [1 - 5].

Как было упомянуто выше, с позиции классической электродинамики рассеяние с изменением частоты невозможно, т.е. эффект Комптона существовать не должен. Элементарная теория эффекта была дана А. Комптоном и независимо от него П. Дебаем (P. Debye) на основе представления о том, что гамма- и рентгеновское излучение состоит из частиц – фотонов (гамма-квантов). С точки зрения классического подхода, гамма-излучение можно рассматривать как плоскую волну с частотой ω, волновым вектором k и интенсивностью I. С другой стороны, для объяснения рассеяния, сопровождающегося потерей энергии излучения, Комптоном и Дебаем было предположено, что фотон (гамма-квант) обладает как энергией E_γ = ħ·ω (ω = 2πс/λ, здесь с – скорость света, λ – длина волны), так и импульсом p = ħ·k (k = 2π/λ), а также интенсивностью I, означающей сумму энергий фотонов, пересекающих в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную к импульсу фотона ħ·k. Данный подход учитывает квантовую природу электромагнитного излучения (корпускулярно-волновой дуализм).

Далее, Комптон в качестве модели рассмотрел упругое рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне, что на практике является хорошим приближением для рассеяния фотонов гамма- и рентгеновских лучей на слабосвязанных (квазисвободных) атомных электронах легких атомов, где E_γ >> E_b, E_b – энергия связи электрона в атоме. Согласно этой модели, при рассеянии фотон передает электрону часть энергии и импульса, что в соответствии с вышеуказанными формулами эквивалентно изменению частоты (или длины волны) рассеиваемого излучения (рис. 1).

Основываясь на перечисленных предположениях, эффект Комптона можно качественно представить следующим образом. В соответствии с законами сохранения энергии и импульса, слабо связанный с атомом электрон может получить только часть энергии фотона (гамма-кванта), и фотон не исчезает в комптоновском взаимодействии. В этом взаимодействии могут участвовать электроны с внешних электронных оболочек, которые наименее связаны с рассеивающим атомом. В процессе взаимодействия электрон становится свободной частицей с кинетической энергией, равной разности энергии, потерянной фотоном, и энергией связи электрона. Поскольку энергия связи электрона очень мала по сравнению с энергией фотона (гамма-кванта), кинетическая энергия электрона очень близка к энергии, потерянной фотоном (гамма-квантом). Место взаимодействия покидают две частицы (рис. 1): освобожденный электрон и рассеянный фотон (гамма-квант).

Исходя из вышеописанных соображений, становится возможным произвести математическое описание эффекта Комптона с учетом релятивистского приближения. Рассмотрим упругое столкновение двух частиц – налетающего фотона (гамма-кванта), обладающего энергией E₀ = ħ·ω₀ и импульсом p₀ = ħ·ω₀/c, с покоящимся электроном, энергия покоя которого равна E_e0 = m·c² = 511 кэВ (рис. 1). Фотон, столкнувшись с электроном, изменяет направление движения, т.е. рассеивается. Импульс фотона после рассеяния становится равным p = ħ·ω/c, а его энергия E = ħ·ω < E₀. Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны. Полная энергия электрона после столкновения, в соответствии с релятивистской формулой, становится равной:

где p_e – приобретенный импульс электрона. Закон сохранения энергии записывается в виде:

Выражение (3) можно переписать в следующем виде:

Закон сохранения импульсов в векторной форме записывается следующим образом:

который может быть переписан в скалярной форме, принимая во внимание диаграмму (рис. 1) и теорему косинусов, в виде:

Из соотношений (4) и (6), выражающих законы сохранения энергии и импульса, после преобразований и исключения импульса электрона p_e можно получить следующее соотношение:

Полученное соотношение может быть переписано в более удобной и распространенной форме, именуемой формулой Комптона для сдвига длины волны:

где ∆λ – сдвиг длины волны при рассеянии, λ₀ = 2πс/ω₀ и λ = 2πс/ω – длины волн до и после рассеяния, h = ħ/2π. Параметр h/(m·c) ≡ Λ_e = 2,426·10^-12 м, как было упомянуто выше, называется комптоновской длиной волны. Формула (8) проста и показывает, что сдвиг длины волны не зависит от свойств рассеивающего вещества. Из формулы (8) следует, что сдвиг длины волны ∆λ не зависит от величины длины волны и определяется только лишь углом рассеяния фотонов ϑ, например: ∆λ = 0 при ϑ = 0° (нет рассеяния), ∆λ = Λ_e при ϑ = 90° (сдвиг равен комптоновской длине волны), ∆λ = 2·Λ_e при ϑ = 180° (максимальный сдвиг при рассеянии назад).

Подобный математический подход в расчетах позволяет определить и величину энергии рассеянного фотона (гамма-кванта) в зависимости от угла рассеяния, а именно:

откуда видно, что энергия рассеянного фотона (гамма-кванта) E(ϑ) изменяется в пределах от минимального значения E = ħ·ω₀·(1+2ħ· ω₀/(m·c²))^-1 при ϑ = 180° до максимального значения E₀ ≡ ħ·ω₀ при ϑ = 0°. Аналогичное соотношение можно получить и для зависимости энергии электронов от угла φ (рис. 1).

Связь углов вылета рассеянного фотона ϑ и электрона отдачи φ (рис. 1) также можно найти из закона сохранения импульса:

откуда следует взаимосвязь углов рассеяния фотона и вылета электрона: изменение угла рассеяния фотона в диапазоне 0 ≤ ϑ ≤ 180° соответствует изменение угла вылета электрона отдачи в диапазоне 90 ≥ ϑ ≥ 0°. Другими словами, электроны вылетают в переднюю полусферу («вперед»), причем электроны с наибольшей энергией летят в направлении падающего фотона. Таким образом, для эффекта Комптона характерна острая направленность рассеянного излучения по направлению первичного (падающего) фотона, при этом угловая асимметрия увеличивается с увеличением энергии фотонов (рис. 2).

Описанный выше теоретический расчет, основанный на квантовых представлениях, как показал опыт, соответствует экспериментальным результатам по комптоновскому рассеянию. Действительно, формулы Комптона (8) и (9) основаны только на кинематических соображениях, они оказываются справедливыми и в точной теории.

Заметим здесь, что комптоновское рассеяние происходит не только на электронах, но также и на других заряженных частицах, например, на протоне и ядрах. Однако вследствие больших масс протона и ядер (по сравнению с массой электрона) эффект слабо проявляется и заметен лишь при очень высоких энергиях гамма-квантов.

Из соотношения (8) следует важное следствие. Относительное изменение длины волны ∆λ/λ₀ велико (эквивалентно условию ħω₀/(m·c²) ≥ 1) только для коротких длин волн, когда λ₀ < Λ_e, что соответствует диапазону гамма- и рентгеновских длин волн. В пределе малых частот (больших длин волн), комптоновское рассеяние переходит в томсоновское рассеяние на свободных электронах, известное из классической электродинамики. Согласно классической волновой теории, свободный электрон под действием периодического поля электромагнитной волны совершает вынужденные колебания на частоте волны и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты. Действительно, при томсоновском рассеянии изменение длины волны ∆λ/λ₀ столь мало, что лежит за пределами технических возможностей эксперимента (ненаблюдаемо), т.е. длина волны при рассеянии не меняется. Другими словами, томсоновское рассеяние можно рассматривать, как частный случай эффекта Комптона в пределе больших длин волн.

Кроме того, существует механизм рассеяния излучения на связанных электронах (в отличие от эффекта Комптона), называемый рэлеевским рассеянием. В частности, как показывает опыт, при комптоновском рассеянии, наряду со смещенной линией с длиной волны λ, в соответствии с формулой Комптона наблюдается и несмещенная линия с первоначальной длиной волны λ₀ с сечением, пропорциональным λ₀^-4 (зависимость установлена Дж.У. Рэлеем (J.W. Rayleigh) в 1871 г.). Это объясняется взаимодействием части фотонов с электронами, сильно связанными с атомами (например, из внутренних оболочек). В этом случае фотон обменивается энергией и импульсом с атомом в целом. Из-за большой массы атома по сравнению с массой электрона атому передается лишь ничтожная часть энергии фотона, поэтому длина волны λ рассеянного излучения не отличается от длины волны λ₀ падающего излучения. Можно говорить о том, что рэлеевское рассеяние есть комптоновское рассеяние в пределе сильно связанных с атомом электронов, при котором изменение длины волны не проявляется. По схожей причине эффект Комптона не наблюдается (нет изменения длины волны) при рассеянии видимого света, ультрафиолетового и инфракрасного диапазонов излучения. Действительно, энергия фотонов оптического диапазона сравнима с энергией связи электронов с атомами, и фотоны взаимодействуют со связанными электронами, т.е. будет наблюдаться релеевское рассеяние.

Интересно, что в спектре рассеянного излучения часто наблюдаются фотоны с длинами волн, меньшими длины волны падающего излучения, а не бóльшими, как в случае обычного эффекта Комптона. Такое излучение является результатом двух актов комптоновского рассеяния: прямого и обратного. Вначале фотон длины волны λ₀ рассеивается на покоящемся электроне, порождая рассеянный фотон с длиной волны λ в соответствии с формулой Комптона. Затем же второй падающий фотон с той же длиной волны λ₀ рассеивается на электроне отдачи, который движется с существенной скоростью, сопоставимой со скоростью света. Такой эффект называется обратным комптоновским рассеянием и может порождать фотоны с меньшей длиной волны. Обратным этот эффект называется потому, что в данном случае «отдачу» получает именно фотон, а не электрон. Отметим, что обратный эффект Комптона является главным механизмом потерь энергии электронами, движущимися в магнитном поле космических радиоисточников, и является причиной возникновения изотропного рентгеновского космического излучения с энергией порядка 100 кэВ.

Среди других механизмов рассеяния, родственных эффекту Комптона, можно выделить еще два. Так называемый двойной эффект Комптона наблюдается в случае излучения не одного фотона после взаимодействия с квазисвязанным электроном (как в случае обычного эффекта Комптона), а сразу двух фотонов. Это явление было предсказано В. Гайтлером (W. Heitler) и Л. Нордхеймом (L. Nordheim) в 1934 г. Учет двойного эффекта Комптона бывает немаловажным для интерпретации данных по обычному эффекту Комптона. Так называемый нелинейный эффект Комптона происходит во внешнем поле интенсивной электромагнитной волны. В этом случае, при определенных условиях, может происходить как поглощение из внешнего поля, так и испускание электроном большого числа фотонов. Подобный процесс является сложной функцией внешнего электрического поля и наблюдается при очень больших напряженностях электрического поля, что достижимо, например, на поверхности сверхплотных звезд.

Сформулированная Комптоном теория эффекта не позволяет определить все характеристики комптоновского рассеяния, например, интенсивность, дифференциальное и интегральное сечения (вероятности) рассеяния фотонов на электронах.

Сечение томсоновского рассеяния как предельного случая эффекта Комптона для больших длин волн (соблюдается условие ħω₀/(m·c²) << 1) определяется классической электродинамикой следующим образом (формула Томсона):

где r_e = e²/(mc²) = 2,82·10^-13 см² – так называемый классический радиус электрона. Однако, в случае коротких длин волн, где условие ħω₀/(m·c²) << 1 не соблюдается, формула Томсона не справедлива. Приближение КомптонаДебая (Раздел 3) также не может помочь в вычислении сечения рассеяния. В этом случае необходимо пользоваться формулой Кляйна-Нишины-Тамма (Klein-Nishina-Tamm formula), которую дает квантовая электродинамика (соотношение независимо и разными способами получено О. Кляйном, Й. Нишиной в 1928 г. и Е. М. Таммом в 1930 г.). Дифференциальное эффективное сечение эффекта Комптона dσ_K/dΩ имеет следующий вид:

где фотон рассеивается под углом ϑ в телесный угол dΩ. Полное эффективное сечение эффекта Комптона можно получить, проинтегрировав dσ_k/dΩ по всем углам ϑ [3]. Общий вид полного сечения описывается достаточно сложной формулой, но может быть выражен следующим образом:

где σ_T – сечение томсоновского рассеяния, дающееся формулой (11), f(ħω₀/(m·c²)) – некоторая функция, меньшая единицы и возрастающая с увеличением энергии падающего фотона ħω₀. Из приведенного соотношения следует, что при малых энергиях падающих фотонов (ħω₀/(m·c²) << 1) полное сечение эффекта Комптона сводится к сечению томсоновского рассеяния. В пределе больших энергий падающего фотона, полное сечение эффекта Комптона на одном слабосвязанном электроне (выражение (13)) может быть переписано в виде:

При энергиях падающих фотонов E₀ ≡ ħ·ω₀, существенно превышающих энергию связи электрона из K-оболочки атома, полное сечение эффекта Комптона в расчете на один атом можно считать пропорциональным числу электронов, т.е. заряду Z ядра для нейтральных атомов (правая часть выражения (14) умножается на число Z).

Таким образом, полное эффективное сечение эффекта Комптона при больших энергиях падающих фотонов в расчете на один атом прямо пропорционально отношению Z/E₀. С понижением энергии падающих фотонов, полное сечение эффекта Комптона на слабосвязанном электроне увеличивается и в пределе малых энергий (малых частот) стремится с томсоновскому сечению (11).

На практике выделить эффект Комптона среди других видов взаимодействия излучения с веществом (Раздел 2) представляется сложным, поэтому для расчетов используют коэффициент ослабления µ, связанный с сечением поглощения и рассеяния (в том числе, с сечением эффекта Комптона). При расчетах ослабления интенсивности (формула (1)) узкого пучка фотонов (гамма-квантов) предполагается, что любой вид взаимодействия приводит к удалению кванта из пучка, и коэффициент ослабления равен сумме парциальных коэффициентов ослабления, а именно:

где µ_photoeffect, µ_compton, µ_pair – коэффициенты, соответствующие фотоэффекту, комптоновскому рассеянию и образованию пары электрон-позитрон.

На рис. 3 представлены графики зависимости µ (выражение (15)) для веществ с различными значениями Z (13, 29, 50 и 82) и графики µ_photoeffect, µ_compton, µ_pair для свинца (Z = 82). Из рис. 3 следует, например, что при энергиях падающих фотонов (гамма-квантов) в интервале 1-10 МэВ эффект Комптона дает основной вклад в ослаблении интенсивности излучения в свинце.

Для вещества, содержащего атомы одного элемента, все три коэффициента в выражении (15) будут равными µ_i = σ_i·n, где σ_i – эффективное сечение взаимодействия фотона с атомами вещества, n – число атомов в единице объема вещества (если µ_i – линейный коэффициент ослабления) или в единице массы (при массовом коэффициенте ослабления). Для расчетов величины энергии, переданной пучком гамма-квантов поглощающей среде, необходимо также учитывать, что вклад каждого из видов взаимодействия различен: при фотоэффекте почти вся энергия кванта передается фотоэлектроном атомам среды; при комптоновском рассеянии значительная часть энергии уносится рассеянным квантом в соседние области среды или за ее пределы, часть рассеянных квантов испытывает вторичное рассеяние или поглощение; в процессах, сопровождающих рождение электроннопозитронных пар, часть энергии переносится аннигиляционными гаммаквантами.

Практическая часть работы направлена на изучение эффекта Комптона с использованием различных рассеивающих материалов и сцинтилляционного детектора гамма-квантов. В качестве первоначального источника радиоактивного излучения служит препарат цезия (изотоп ¹³⁷Cs). Общий внешний вид лабораторной работы представлен на рис. 4.

Внимание: До включения всех приборов изучите описанный ниже ход выполнения лабораторной работы до конца. В случае возникновения вопросов, обратитесь к лаборанту.

Внимание. Самостоятельное вскрытие или другие манипуляции с источником радиоактивного излучения запрещены и являются нарушением законодательства РФ в области радиационной безопасности. Доступ к радиоактивному источнику имеет только персонал лаборатории, относящийся к группе «А».

Для эксплуатации радиоактивного источника с изотопом цезия ¹³⁷Cs необходимо знать его основные характеристики. На рис. 6 показана схема распада изотопа ¹³⁷Cs.

Видно, что распад ¹³⁷Cs сопровождается одновременно испусканием бета-частиц и гамма-квантов. Точная величина энергии испускаемых гаммаквантов составляет 661,66 кэВ.

На рис. 7 показан типичный спектр гамма-квантов моноэнергетического источника гамма-излучения радиоактивного изотопа цезия ¹³⁷Cs.

Спектр, подобный рис. 7, должен наблюдаться и в случае регистрации сцинтилляционным детектором гамма-квантов, излучаемых изотопом ¹³⁷Cs и рассеянных материалом стержня (3) (Раздел 7, рис. 5а).

Пик полного поглощения, рис. 7, при 662 кэВ образован взаимодействиями, в которых падающий гамма-квант теряет всю свою энергию в детекторе, либо в результате однократного фотоэффекта (поглощение кванта материалом детектора), либо в результате серии комптоновских рассеяний (в материале детектора), за которыми следует фотоэффект. Именно по этому пику энергия падающих гамма-квантов может быть определена с наибольшей точностью. Спектр зарегистрированных событий, находящихся ниже пика фотоэффекта, обусловлен событиями комптоновского рассеяния, в которых гамма-квант теряет в детекторе только часть своей энергии. Ступенька в области 470 кэВ, называемая комптоновским краем, соответствует максимальной энергии, которая может быть передана электрону материала детектора гамма-квантом с энергией 662 кэВ в результате единичного акта комптоновского рассеяния. Небольшой пик в области 188 кэВ называется пиком обратного рассеяния. Пик образуется, когда гамма-квант претерпевает рассеяние на большой угол (≈ 180°) в материале, окружающем детектор, и затем поглощается в детекторе. Сумма энергий пика обратного рассеяния и комптоновского края равна энергии падающего гамма-кванта.

Если энергия падающих гамма-квантов отлична от 662 кэВ, вид спектра на рис. 7 останется неизменным. Тем не менее, очевидно, некоторые изменения все же будут. Например, спектр будет «сжиматься» в область низких энергий в случае уменьшения энергии падающих гамма-квантов.

Выписка из протокола № 5 заседания кафедры физики твердого тела от 19.11.2013г.

ПРИСУТСТВОВАЛИ: зав. каф. д.ф.-м.н., проф. Тагиров Л.Р.; д.ф.-м.н., проф. Парфёнов В.В.; д.ф.-м.н., проф. Садыков Э.К.; д.ф.-м.н., проф. Петухов В.Ю.; д.ф.-м.н., доц. Воронина Е.В.; к.ф.-м.н., доц. Вагизов Ф.Г.; к.т.н., доц. Салахов А.М.; к.ф.-м.н., доц. Храмов А.С.; к.ф.-м.н., асе. Болтакова Н.В.; к.ф.-м.н. асе. ГайновР.Р.; к.ф.-м.н., асе. Дулов Е.Н.; асе. Пятаев А.В.; зав. лаб. Закиров Р.Х.; зав. лаб. Халабуда Ю.Э.; эл-ник Бикчантаев М.М.; к.ф.-м.н., с.н.с. Усеинов Н.Х.; асп. Петухов Д.

Слушали ассистента Гайнова P.P. о разработанном учебно-методическом пособии по комптоиовскому рассеянию (эффекту Комптона). Данное пособие предназначено для студентов 3-го курса Института физики, обучающихся по специальностям и направлениям «Астрономия», «Астрономогеодезия», «Физика» и студентов 2-го курса Института физики очно-заочной (вечерней) формы обучения. После обсуждения было принято решение рекомендовать представленное пособие к публикации.

ПОСТАНОВИЛИ: