Введение в персонализированную цифровую нутрициологию

С каждым пользователем связывается основное 5-мерное пространство параметров. Эти параметры следующие: 1 — пол, 2 — возраст, 3 — масса тела, 4 — рост (длина тела) или, как вариант, индекс массы тела, 5 — уровень физической активности.

Кроме перечисленных, существуют еще и другие биометрические параметры, влияющие на особенности питания, а также ряд параметров, связанных с внешними условиями. Эти параметры относятся к более сложно определяемым величинам, таким как тип метаболизма, величина подкожного жира, тип скелета. Индивидуумы различаются также своими культурными особенностями и социально-экономическим положением. На организацию структуры питания влияет экологическая обстановка в области проживания и другие внешние факторы. Создание моделей, учитывающих зависимость индивидуальных особенностей потребления продуктов питания от этих параметров, также является целью развития цифровой нутрициологии.

Кроме того, в перечень параметров, от которых зависит структура питания, входят алиментарные заболевания, которые могут быть у пользователя и с которыми связаны специфические продукты питания или их изъятие из рациона питания.

В настоящей монографии мы рассматриваем на уровне моделей только указанные выше пять основных параметров, которые имеют следующую внутреннюю классификацию для здоровых людей.

Два класса полов: мужской пол (обозначается индексом M), женский пол (обозначается индексом F).

Пять возрастных групп населения: 1 — 18–29 лет, 2 — 30–39 лет, 3 — 40–59 лет, 4 — 60 лет — 74 года, 5 — лица пожилого возраста (75 лет и старше).

Десять классов по массе тела: от 50 до 100 кг для мужчин и от 40 до 90 кг для женщин с шагом в 5 кг.

Пять ранговых параметров для классификации физической активности. Согласно методическим рекомендациям [2] для взрослого населения вводится: 1 — очень низкая активность энерготрат, ранговый индекс k = 1,4; 2 — низкая активность, ранговый индекс k = 1,6; 3 — средняя активность, ранговый индекс k = 1,9; 4 — высокая активность, ранговый индекс k = 2,2; 5 — очень высокая активность, ранговый индекс k = 2,5.

Девять значений индекса I массы тела, который представляет собой отношение массы тела в килограммах к квадрату роста в метрах. Эта величина используется для оценки дефицита массы тела или избыточной массы тела. В соответствии с рекомендациями Всемирной организации здравоохранения [67] вводятся следующие градации:

В то же время следует учитывать, что данная классификация отвечает среднему уровню физической активности, тогда как для высокого уровня (тяжелой физической работы или для спортсменов) этот индекс может сдвигаться вправо, а для низкой физической активности — влево.

Таким образом, в представленной укрупненной классификации размерность вектора собственных параметров пользователя, равная произведению количества независимых классов, составляет n = 4500 без учета внешних факторов и заболеваний. Предполагая, что каждая компонента этого вектора определяется на основе практических измерений, то есть имеет статистический характер, для оценки относительной точности ε получаемых данных по выборке конечного объема N используем формулу [65]:

. (2.1.1)

Эта формула получается следующим образом. Набор из n классов представляет собой гистограмму распределения N пользователей по параметрам. Предполагая, что эмпирическое распределение, которое мы обозначим как f⁽ⁿ⁾ (j; N), где j есть номер классового интервала, приближает объективно существующую генеральную совокупность, обозначаемую f⁽ⁿ⁾ (j), и попадание в разные классы полностью случайно, используем известный результат математической статистики о том, что статистика

имеет распределение Стьюдента с N–1 степенью свободы. Данная статистика оценивает величину отклонения эмпирической частоты попадания в заданный классовый интервал от гипотетической генеральной вероятности. Здесь s² (j; N) есть выборочная дисперсия отдельной эмпирической частоты, равная

.

Поскольку N > 1, то вместо квантиля распределения Стьюдента в оценке доверительного интервала для вероятности f⁽ⁿ⁾ (j; N) можно взять квантиль нормального распределения u_1–ε/2, где ε — уровень значимости, на котором принимается решение о близости распределений. Тогда в приближении на уровне значимости ε выражение не превосходит величины .

Поскольку уровень значимости не должен быть точнее интегрального уровня неопределенности в позиционировании доверительного интервала , то требуется также выполнение условия:

.

В результате получаем, что минимальное число N респондентов для достижения заданной точности ε в оценке вероятностей определяется условием:

,

где введено обозначение:

.

Наибольшее значение последнего выражения достигается на равномерном распределении, когда f⁽ⁿ⁾ (j; N) = 1/n. Тогда , и достигается наилучшая оценка для точности ε. Функция u_1–ε табулирована, имеет место следующая аппроксимация квантиля нормального распределения:

.

В результате выписанное выше условие на минимальную длину N выборки приводится к виду (2.1.1).

Из формулы (2.1.1) следует, что для получения статистики с точностью ε = 0,1 необходимо получить данные приблизительно от N = 1 млн респондентов, для точности ε = 0,05 потребуется уже примерно 6 млн респондентов, а для точности ε = 0,01 — более 275 млн респондентов. Более того, если включить в число учитываемых параметров различные виды алиментарных заболеваний, то имеющаяся статистика по ним заведомо недостаточна для получения желаемой точности. Поскольку получение точности даже на уровне 10% представляется пока не вполне достижимой целью, наряду со статистическими исследованиями необходимо использовать различные теоретические модели о связи рассматриваемых параметров с калорийностью питания и с потреблением эссенциальных химических веществ и соединений.

Обратимся теперь к описанию модельных распределений населения по основным параметрам. Эти распределения получены на основе систематизации эмпирических данных.

Несмотря на то, что возрастных групп введено всего пять, для анализа динамики состава этих групп по годам и изучения связи между типом питания и продолжительностью жизни требуется более детальная статистика с шагом в один год. Вообще все модели, имеющие отношение к статистике населения, основываются на демографических показателях. Эти показатели следующие: половозрастной состав населения N^F,M (a, t) как число (в тысячах) женщин и мужчин возраста a лет в год t; повозрастной коэффициент рождаемости B^F,M (a, t) как число родившихся девочек и мальчиков на 1 тыс. женщин возраста a лет в год t; повозрастной коэффициент смертности q^F,M (a, t) как число умерших женщин и мужчин на 1 тыс. соответствующих групп возраста a лет в год t.

Хотя повозрастные коэффициенты рождаемости и смертности зависят от текущего года, то есть они не постоянны, достоверных моделей их зависимости от времени в настоящее время нет. Именно поэтому для прогноза динамики численности населения используется сценарный подход, где выбираются базовые (как в последний год), повышенные на 10–15% или аналогично пониженные значения коэффициентов. Мы будем опираться на базовый сценарий, взяв за основу данные Росстата за 2017 г. и считая коэффициенты B^F,M (a, t) и q^F,M (a, t) зависящими только от возраста человека. Эти данные приведены соответственно на рис. 1–3 (см. также [66]).

Пусть в год t население характеризовалось численностью N^F,M (a, t). Тогда в следующий год t + 1 численность населения возраста a будет равна:

. (2.2.1)

В соответствии с формулой (2.2.1) численность возрастных классов, введенных выше, меняется со временем в зависимости от исходной возрастной структуры населения. Например, численность первого класса в год t равна:

. (2.2.2)

Тогда в год t + 1 она составит:

. (2.2.3)

Аналогичные формулы выписываются и для численностей групп других классов:

Следовательно, групповая численность меняется со временем. Поскольку же калорийность питания зависит в том числе и от возраста (см. далее разделы 3 и 4), то структура оптимальной продуктовой корзины, вообще говоря, меняется от года к году просто в силу естественных демографических причин, не считая социально-экономических.

Однако следует подчеркнуть, что данные Госкомстата о структуре питания домашних хозяйств содержат информацию о среднедушевом официальном доходе семьи, но не отражают биометрической информации, что препятствует разработке корректной статистической модели фактического потребления продуктов питания в России с точки зрения оптимальности в понимании нутрициологии. Иными словами, разрабатываемую модель трудно будет верифицировать. Можно лишь предположить независимость вводимых эмпирических распределений.

На рис. 1 представлена половозрастная структура населения России [66].

Как можно видеть, население России в силу ряда внешних и внутренних причин имеет пики рождаемости (демографические волны), приходящиеся на 1988, 1961 и 1940 гг., а также провалы в 2002, 1968 и 1944 гг.

Изрезанность графика приводит к тому, что численность возрастных групп значительно меняется с течением времени согласно формуле (2.2.3), что заметно влияет на рекомендуемые объемы производства и потребления продуктов питания в масштабе страны и требует как серьезного регионального планирования, так и постоянного мониторинга.

На рис. 2 приведено количество рождений B (a) детей на 1 тыс. женщин соответствующего возраста a по данным на 2016 г. [66]. Рождения отдельно мальчиков и отдельно девочек определяются из этих данных путем введения коэффициентов:

B^M(a) = 0,512B(a), B^F(a) = 0,488(a).

В настоящее время имеется тенденция смещения пика распределения возраста матери вправо, что приводит к снижению рождаемости от поколения к поколению. Действительно, на рис. 1 видно, что численность 30-летних заметно выше, чем численность новорожденных, тогда как в растущей популяции должно быть наоборот. Снижение младенческой смертности не может переломить эту ситуацию, поскольку вопрос не в снижении смертности, а в повышении рождаемости.

На рис. 3 приведены повозрастные коэффициенты смертности женщин и мужчин в России. Примерно по достижении возраста поколения (25 лет) эти кривые начинают заметно расходиться.

Относительное изменение повозрастных коэффициентов рождаемости и смертности от года к году различно в разных возрастных группах. В средних возрастных группах изменение коэффициентов смертности составляет величину порядка 7%, в младших возрастах оно увеличивается до 16%, а в старших уменьшается до 5%. Это позволяет оценить точность прогноза численности возрастных групп. Пусть есть максимальное относительное изменение коэффициента смертности в k-й группе. Определим тогда относительную неточность прогноза численности k-й возрастной группы на следующий год. В наблюдаемый год t ее численность определяется формулой (для краткости индексы F, M временно опущены):

,

гдеa_k, b_k — границы группы в соответствии с введенными классами. В следующий год она предположительно будет равна (прогнозную величину обозначаем тильдой сверху):

,

тогда как по факту окажется, что

.

Поскольку

,

то максимальная относительная ошибка такого прогноза в численности группы в линейном приближении по коэффициенту смертности не превосходит произведения максимального относительного отклонения на групповой коэффициент смертности в k-й группе, сдвинутой вниз на 1 год по сравнению с исходной:

,

. (2.2.4)

Формула (2.2.4) показывает, что в линейном приближении уменьшение коэффициента смертности выразится в снижении характерной величины флуктуации группового коэффициента смертности. Тогда предположительное изменение продолжительности жизни, связанное с уменьшением коэффициента смертности путем перехода на оптимальное питание в некоторой возрастной группе, может быть доказательно проверено, только если относительное изменение численности за 1 год в указанных возрастных группах в течение ряда лет (хотя бы десяти для получения статистики) будет значимо меньше величины . Для групп, введенных в п. 2.1, групповые коэффициенты смертности, вычисленные по данным за 2016 г. по формуле (2.2.4), следующие (табл. 1).

Следовательно, необходимое среднее относительное годовое изменение численности возрастных групп для выявления роли питания должно быть меньше следующих критических значений: в первой группе — величины 10–4 для женщин и 3•10^–4 для мужчин; во второй группе — величины 10–4 для женщин и 4•10^–4 для мужчин; в третьей группе — 3•10^–4 для женщин и 10–3 для мужчин; в четвертой — 7,5•10^–4 для женщин и 2•10^–3 для мужчин; в пятой — 3•10^–3 для женщин и 5•10^–3 для мужчин.

Для оценки потребности индивидуума в пищевых веществах и энергии необходимо определение стандартов физического развития, которые включают данные о некоторых антропометрических параметрах в различных возрастных группах у мужчин и женщин. Базовое антропометрическое обследование включает определение роста и массы тела человека. Эти данные позволяют оценить избыточность или недостаточность массы тела, соотнеся ее с ростом человека. Таким маркером является индекс массы тела, определяемый как отношение массы m (кг) к квадрату роста h² (м²) (табл. 2). Кроме него вычисляют еще отношение окружности талии к обхвату бедер. Величины этих индексов косвенно отражают как количественное содержание жировой ткани, так и места ее накопления в организме.

Масса тела человека — параметр, который изменяется в пределах нескольких процентов в течение суток и имеет некоторые тенденции к увеличению среднегодовых значений с возрастом. Именно поэтому данные о распределении населения по массе тела, во-первых, достаточно условны и, во-вторых, косвенны по отношению к структуре питания. Сравнительно постоянной величиной является рост человека после 18 лет.

Распределение населения по росту используется для того, чтобы на основе выборочного анализа оценить индекс массы тела.

Согласно исследованиям [68], для указанных возрастных групп индекс массы тела приближенно моделируется нормальным (гауссовым) распределением, параметры которого приведены в табл. 3 и зависят от возраста a.

Плотность нормального распределения в терминах данных табл. 3 дается формулой:

. (2.3.1)

Заметим, что, поскольку выражение (2.3.1) дает приближенное распределение реальных данных, то на практике оно перенормируется на пределы наблюдаемых значений индекса массы тела.Распределение же людей по росту h считается не зависящим от возраста и в целом по популяции людей старше 18 лет также моделируется гауссовым распределением с плотностью:

, (2.3.2)

где параметры µ и σ для женщин и мужчин в современной России равны соответственно µ^F = 159,0, µ^M = 172,5, σ^F = 6,3, σ^M = 7,0.

Плотность распределения квадрата роста y = h² имеет тогда плотность:

. (2.3.3)

Исходя из того, что плотность распределения величины I известна и дается формулой (2.3.1), а масса есть результат произведения двух случайных величин m = Iy, получаем, что плотность совместного распределения населения по массе тела и возрасту дается формулой:

(2.3.4)и может быть определена численным интегрированием (суммированием соответствующей дискретной аппроксимации) с учетом (2.3.2), (2.3.3) и табл. 3. В результате получаются кластерные распределения для женщин и мужчин, находящихся в i-й группе по массе тела и в j-й группе по возрасту (эти группы были определены выше в подразделе 2.1).

Потребность в энергии и пищевых веществах зависит от физической активности, характеризуемой коэффициентом физической активности, равным отношению энерготрат на выполнение конкретной работы к величине основного обмена.

Все взрослое население в зависимости от величины энерготрат делится на пять групп для мужчин и четыре группы для женщин, учитывающих производственную физическую активность и иные энерготраты [2].

Распределение пятого параметра — уровня физической активности в зависимости от остальных четырех (пол, возраст, масса тела, рост) — известно гораздо менее точно. Данными могут служить отчеты о выборочных исследованиях Министерства спорта и Минздрава. Согласно этим отчетам в целом можно считать, что активный образ жизни (с коэффициентом выше среднего) ведут примерно 60 млн человек. Из них 60% — мужчины, 40% — женщины, возрастной диапазон на 70% принадлежит первой группе, 20% — второй и 10% — третьей.

К профессиональному спорту (5-я категория активности) относится около 3 млн человек, из них 60% — мужчины, 95% которых (как и женщин) принадлежит первой возрастной группе.

В очень низкую группу активности следует отнести людей, страдающих ожирением и некоторых слишком худых — к этому классу относится примерно 2 млн человек. Кроме того, в группу очень низкой активности надо отнести примерно треть людей старше 80 лет, то есть еще 1 млн.

Просто малоподвижный образ жизни ведут около 20 млн человек.

Остальные 30 млн человек имеют средний уровень активности, который распределен предположительно равномерно по полу и возрасту.

Итоговые данные сведены в табл. 4, в которой указаны доли населения с определенным типом физической активности, нормированные на численность соответствующего возрастного диапазона (см. табл. 1). В табл. 4 сумма долей по каждой строке для женщин (F) и мужчин (M) в каждом возрастном диапазоне нормирована на единицу в соответствии с численностью соответствующего возрастного диапазона.

Комбинируя полученные оценки табл. 4 с данными табл. 1, получаем, что средний коэффициент физической активности как для мужчин, так и для женщин и для всего населения в целом равен 1,8, то есть население в целом принадлежит к средней группе активности.

Подчеркнем, что анализ точности эмпирических данных и результатов измерений, а также модельных предположений является важнейшим этапом создания вычислительных алгоритмов в области нутрициологии. Именно поэтому мы достаточно много внимания уделили анализу исходных данных, касающихся собственно потребителей. Обратимся теперь к статистике потребления ими продуктов питания и содержащихся в этих продуктах нутриентов.

Энергия поступает в организм с потреблением белков, жиров и углеводов. Калорийность белка составляет e₁ = 4 ккал/г, жира — e₂ = 9 ккал/г, углеводов — e₃ = 4 ккал/г. Эти данные используются для оценки калорийности питания в соответствии с тем, сколько соответствующих нутриентов содержат те или иные продукты и блюда из них.

Следует отметить, что существует довольно много линейных регрессионных аппроксимаций эмпирических данных потребности в энергии в зависимости от биометрических показателей (формулы Миффлина–Сан-Джеора, Харриса–Бенедикта, Кэтча–Мак-Ардла и др.). Однако такие формулы не имеют научного обоснования, то есть не основаны на микроскопической кинетике усвоения питательных веществ. Кроме того, поскольку эти аппроксимации не имеют корректной верификации применительно к населению Российской Федерации, то в нашем анализе они использоваться не будут.

Нормативные суточные потребности в энергии для женщин и мужчин в i-й группе по массе тела и j-й группе по возрасту согласно рекомендациям [2] в соответствии с зависимостью от них величины основного обмена приведены в табл. 5 и 6.

В целом можно сказать, что величина основного обмена снижается с возрастом и увеличивается с увеличением массы тела. Эмпирическая кривая приблизительно постоянных энерготрат отвечает массе тела, увеличивающейся с возрастом как (рис. 4).

У женщин величина основного обмена в среднем на 15% ниже, чем у мужчин. С учетом конкретного вида деятельности эти данные следует умножить на соответствующий коэффициент физической активности.

Отметим, что расход энергии на адаптацию к холодному климату в районах Крайнего Севера увеличивается в среднем на 15% [2].

Основные нутриенты, относительно которых составляются балансовые модели их потребления с продуктами питания, следующие.

Макронутриенты: 1 — белок, 2 — жир, 3 — углевод.

Микронутриенты: 4 — витамин C, 5 — витамин A, 6 — K (калий), 7 — Ca (кальций), 8 — P (фосфор), 9 — Mg (магний), 10 — Na (натрий).

Микронутриенты малых концентраций: 11 — витамин B₁, 12 — витамин B₂, 13 — витамин PP, 14 — каротин, 15 — Fe (железо).

Согласно нормам физиологических потребностей [2] применительно к витаминам и минеральным веществам суточная норма указанных нутриентов не зависит от пола (за исключением железа), физической активности, а также от возраста (за исключением кальция). В табл. 7 приведены суточные потребности (мг) в основных витаминах и минеральных веществах для женщин массой 60 кг и мужчин массой 70 кг.

Суточная потребность в кальции (Ca) равна 1000 мг для возраста a ≤59 и 1200 мг для возраста a ≥60.

Усвоение энергии и микроэлементов зависит от способа приготовления пищи, типа пищи (животная или растительная), сочетания продуктов. Соответствующие величины составляют содержание базы данных продуктов и блюд на основе данных академика РАН В.А. Тутельяна и соавт. [69, 70].

Существует и более детальное представление о физиологических потребностях в макро- и микронутриентах (табл. 8 и 9).

* Для лиц 65 лет и старше.

Рекомендуемые уровни потребления минорных биологически активных веществ пищи с установленным физиологическим действием для взрослых представлены в табл. 10 [2, 50–59].

Потребности в жидкости определяются главным образом осмолярностью пищи и интенсивностью водопотерь. Скорость водопотерь организма зависит от условий окружающей среды и уровня физической активности.

Для взрослых зависимость потребности воды от энерготрат лежит в диапазоне 1,0–1,5 мл/ккал.

В средних климатических условиях при умеренной физической нагрузке потребление воды может быть рекомендовано в размере 1 мл/ккал [64].

Диапазоны рекомендуемого потребления воды (напитков) для поддержания водного баланса организма при оптимальных параметрах микроклимата зависят от уровня физической активности (табл. 11 и 12) [2].

Суточные колебания содержания воды в организме зависят от двух основных факторов:

В свою очередь, потребление воды с пищей также можно разделить на две составляющие:

Потребность в воде, потребляемой с напитками, легко контролируется и может быть использована для рекомендаций по поддержанию водного баланса.

Критически значимые пищевые вещества — пищевые вещества (пищевая соль, сахара, жиры, включая жиры с насыщенными жирными кислотами и трансизомерами жирных кислот), повышенное содержание которых в составе пищевой продукции и рационов питания увеличивает риск возникновения и развития заболеваний алиментарной природы.

Рекомендуемые уровни суммарного суточного поступления с рационом критически значимых пищевых веществ, рассчитанные с позиций современной нутрициологии, основанных на результатах многочисленных фундаментальных и эпидемиологических исследований [3], приведены в табл. 13.

Дифференцированные критерии отнесения пищевой продукции промышленного производства к продуктам с избыточным содержанием пищевой соли, сахара, жиров, включая жиры с насыщенными жирными кислотами и трансизомерами жирных кислот [3], приведены в табл. 14.

Основные источники поступления критически значимых пищевых веществ в рационе приведены в Методических рекомендациях [3].

В целях регулирования потребления углеводов и, в частности, сахаров необходимо учитывать гликемический индекс пищевых продуктов — относительный показатель влияния углеводов в пищевом продукте на уровень глюкозы в крови. Гликемический индекс позволяет провести сравнение гликемического эффекта различных пищевых продуктов, содержащих равное количество углеводов, и классифицировать их в зависимости от выраженности постпрандиального гликемического эффекта.

Продукты с низким гликемическим индексом (менее 55) медленнее перевариваются, всасываются и метаболизируются, что приводит к более медленному росту уровня глюкозы и инсулина в крови. Рационы с низким гликемическим индексом позволяют контролировать уровень глюкозы в крови и снижают риск развития сахарного диабета 2-го типа и ишемической болезни сердца.

Табл. 15–21 гликемических индексов пищевых продуктов [60–63] позволяют рассчитать гликемическую нагрузку, оптимизировать рацион и исключить нарушения структуры питания.

Потребляемые продукты питания подразделяются на 10 крупных категорий (табл. 22). Иногда с целью детализации потребления хлеб, мясо птицы и крупы выделяют отдельно. Статистика суммарного потребления отвечает некоторому «среднему» человеку 38 лет (второй возрастной диапазон) массой 75 кг (шестой весовой диапазон) средней физической активности (коэффициент увеличения данных в табл. 3 и 4 — в 1,8 раза). В табл. 22 приведены данные [71] среднегодового потребления продуктов по крупным категориям.

Переводя данные табл. 22 в суточное потребление, получаем, что в среднем человек съедает за день примерно 265 г хлебопродуктов, включая каши, 280 г овощей, 160 г картофеля, 200 г фруктов, 300 г мяса, включая птицу и рыбу, 85 г сахара, 30 г растительного масла и 700 г молочной продукции. Согласно базе данных продуктов и блюд, этому набору отвечает калорийность 2630 ккал, что для среднего уровня физической активности порядка 1,8 означает нормативное энергопотребление (см. табл. 5 и 6) на уровне 1460 ккал. В целом эти данные приблизительно соответствуют параметрам «среднего» человека согласно табл. 5 и 6, то есть рекомендации [2] в среднем выполняются.

Можно также сделать вывод о том, что потребление продуктов по категориям меняется от года к году незначительно, так что пищевые привычки населения предположительно постоянны.

Среднесуточный рацион по макронутриентам состоит из 80 г белков, примерно 50 г из которых животного происхождения, 108 г жиров (из них 69 г животного происхождения) и 335 г углеводов, в том числе 15 г животного происхождения. По калорийности этот средний рацион состоит из 320 ккал, отвечающих потреблению белков, 970 ккал жиров и 1340 ккал углеводов. Заметим, что потребление белков, жиров и углеводов должно находиться в пределах физиологически необходимых процентных соотношений по калорийности между ними: 12, 30 и 58% соответственно. Убеждаемся, что среднее фактическое потребление составляет в процентном содержании несколько другие пропорции: 12, 37, 51%.

Проведенный анализ, а также данные табл. 22 будут использованы для разработки алгоритма создания типовых меню блюд (см. далее раздел 6).

Если рассмотреть годовое потребление продуктов питания отдельными семейными хозяйствами, то можно убедиться, что по категориям табл. 22 потребление варьируется не сильно. Относительное изменение среднего за год значения каждой из категорий продуктов составляет величину порядка 1% [71].

Заметные отличия связаны с детализированным потреблением конкретных подкатегорий продуктов — определенного мяса или рыбы, круп, хлеба и т.д. При этом вариация калорийности суточного питания остается в пределах 1,5%, тогда как относительное отклонение среднесуточного потребления конкретного хозяйства по определенным подкатегориям продуктов (мяса свинины или гречневой крупы и т.п.) может отличаться от среднего хозяйства на 100%.

Существенно различаются между хозяйствами также и величины потребления микронутриентов. Вариации там могут достигать 100% по сравнению со среднестатистическим хозяйством.

Это свидетельствует не только о региональных, культурных и социально-экономических различиях, но и о том, что однообразным меню, состоящим из одних и тех же продуктов по подкатегориям, нельзя обеспечить питание населения страны. Следовательно, необходимо обработать статистику потребления продуктов в отдельных домашних хозяйствах с тем, чтобы сформировать классы таких хозяйств по типовым продуктовым наборам и, как следствие, разработать соответствующие типовые меню. Создание типовых паттернов, представляющих собой частоты употребления тех или иных блюд, является основой для практического использования цифровой нутрициологии по разработке персонализированных рекомендаций оптимального питания.

Показатели химического состава и энергетической ценности пищевых продуктов приведены в Справочнике [70].

Нормативы расхода сырья, выхода полуфабрикатов и готовых изделий на одноразовую порцию различных блюд приведены в Сборниках рецептур на продукцию общественного питания [78, 79], которые традиционно сопряжены со Справочником химического состава и калорийности пищевых продуктов [70].

По результатам обследования индивидуального (семейного) питания населения в различных регионах страны, а также с учетом опыта общественного и индивидуального питания ФГБУН «ФИЦ питания и биотехнологии» были определены массы одноразовых порций блюд и продуктов (потребляемые с разной периодичностью), которые в обобщенном виде представлены в табл. 23 [70].

Массы одноразовой порции, приведенные в таблице, рекомендованы для взрослого трудоспособного населения страны.

Кроме отмеченных различий, в питании разных домохозяйств существуют также и особенности, связанные с определенными традициями национального и культурного характера.

Например, в персонализированной нутрициологии следует учесть вегетарианскую традицию. Вегетарианство — это общее название для определенной группы изъятий из пищевого рациона. Основные виды вегетарианства следующие.

Другой тип изъятий связан с определенными религиозными ритуалами. Например, в православной традиции существуют периоды, называемые постами, когда из употребления исключаются пища животного происхождения и некоторые другие продукты. Таких дней суммарно в году 129 в соответствии с продолжительностью четырех постов. Кроме того, перед Великим постом рекомендуется в течение 4 нед в понедельник, среду и пятницу, то есть три дня в неделю, не употреблять пищу животного происхождения. Следовательно, получается 141 день в году вегетарианской диеты. При этом в некоторые дни поста пища ограничивается до хлеба и воды. Именно поэтому для разработки компьютерной программы по рационализации питания таких категорий людей надо предложить алгоритм их поведения в те дни, когда питание не регламентировано.

В мусульманской традиции существует период поста с мая по июнь (месяц Рамадан). Кроме того, празднуются (в виде поста) начало Зуль-хиджа (2 августа) и день Ашура (8–9 сентября).

В течение всего Рамадана мусульмане принимают пищу рано утром, еще до рассвета (сухур). Ифтар — это вечерний прием пищи, который совершается тоже во время поста. Начинать разговление нужно сразу после захода солнца.

Во время сухура рекомендуют употреблять утром сложные углеводы — блюда из круп, хлеб из проращённого зерна, салат из овощей. Сложные углеводы обеспечат организм энергией, при том что они долго перевариваются. Подойдут также сухофрукты (финики), орехи (миндаль) и фрукты. Не следует употреблять белковую, жареную, копченую, жирную пищу, а также кофе и рыбу.

Во время ифтара можно есть мясо, овощи, блюда из круп, в малом количестве сладости. Можно заменить их финиками или фруктами. Можно также пить сок, морс, компот, чай, кисель. Нельзя есть жирную и жареную пищу. Надо исключить из питания продукты быстрого приготовления — различные каши в пакетах. Нельзя есть колбасу и сосиски. Из употребления во все дни исключены продукты из свинины.

Таким образом, в программный алгоритм разработки меню на некоторый горизонт планирования должны быть включены разнообразные варианты режимов питания в соответствии с персональными предпочтениями. При этом не каждый вариант может быть согласован с методическими рекомендациями Минздрава даже в среднегодовом исчислении. Следовательно, одной из целей цифровизации в нутрициологии является проведение сравнительного анализа рекомендуемых вариантов питания в части достаточности потребления эссенциальных нутриентов.

В разделе 2 были введены укрупненные классы биометрических параметров пользователя. Однако при разработке персонифицированных рекомендаций такая сетка оказывается слишком грубой. Пользователи отличаются один от другого также и в пределах одного класса, в котором, например, уравнены люди возрастов от 18 до 29 лет с массами от 45 до 50 кг. Именно поэтому необходимо создать алгоритм, распределяющий рекомендации [2] на более мелкий масштаб: по возрастам с шагом в 1 год, по массе тела — с шагом в 1 кг. Из оценки точности статистики по формуле (2.1.1) следует, что создание такого алгоритма не может опираться на эмпирические данные, поскольку данных с нужной точностью просто не существует (по крайней мере в России): для этого потребовалось бы несколько миллиардов респондентов. Тогда предлагается следующая модель интерполяции данных , приведенных в табл. 5 и 6.

Обозначим a_j значения возрастов в узлах исходной укрупненной сетки и m_j — значения масс тел (верхние индексы F, M для краткости опущены).

Рассмотрим для каждого j функцию e_j(m), заданную в узлах m_i на отрезке [m₁, m₉] равенствами:

e_j(m_i) = E_ij. (5.1.1)

Продолжим эту функцию по кусочно-линейной интерполяции в остальные точки отрезка [m₁, m₉] и вычислим ее среднее значение:

. (5.1.2)

Для каждого из четырех значений j можно найти такое значение аргумента функции e_j(m), для которого .

Это значение всегда существует в силу известной теоремы математического анализа о среднем значении определенного интеграла, поскольку e_j(m ) — непрерывная монотонно возрастающая функция:

. (5.1.3)

Вычисляя эти значения для табл. 5 и 6, выясняем, что они не зависят от j и приближенно равны = 60 кг для женщин и = 70 кг для мужчин. Это есть критическое свойство матриц величины основного обмена (ВОО), позволяющее построить модель пересчета рекомендуемых величин E_k потребления k-го нутриента с узлов крупной сетки на мелкий масштаб по закону сохранения площадей.

Пусть заданы масса m и возраст a пользователя. Найдем номера 1 ≤ i ≤ 9, 1 ≤ j ≤ 4, такие, что , . Рассмотрим прямоугольник ABCD, вершины которого являются узлами крупной сетки, как показано на рис. 5.

Точка (a, m) лежит в прямоугольнике ABCD. Проходящие через эту точку вертикальная и горизонтальная прямые, параллельные соответствующим сторонам прямоугольника, делят его на четыре прямоугольника, площади которых обозначены S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S=S₁+S₂+S₃+S₄. Тогда норма E физиологической потребности в точке (a, m) равна:

E(y, m)=E(A)×S₃/S+E(B)×S₂/S+E(C)×S₄/S+E(D)×S₁/S, (5.1.4)

а значения норм физиологических потребностей в узлах сетки (E(A) и т.д.) известны. Учет группы физической активности дается умножением на соответствующий коэффициент. Тем самым значения норм физиологических потребностей полностью вычисляются на сетке более мелкого масштаба.

После того как определен вектор E_i суточных потребностей пользователя в i-м нутриенте (то есть рекомендуемые значения норм физиологических потребностей), требуется решить задачу алгоритмического подбора продуктовой корзины , j = 1, 2, …​, n, состав которой может обеспечить такое потребление. Здесь M_j — масса j-го продукта (именно продукта, а не категории продуктов из табл. 22). Сложность этой процедуры обусловлена следующими факторами.

Во-первых, искомое решение неоднозначно, ибо возможное количество K продуктов питания, n из которых отбираются в корзину, существенно превосходит число балансируемых нутриентов. Именно поэтому при одних и тех же значениях E_i могут быть различны как массы продуктов в собранной корзине, так и ее состав. Например, для каждой из 10 категорий продуктов существует как минимум несколько десятков подкатегорий (хлеб — 20 сортов, макаронные изделия — 20 сортов, крупы — 10 видов и т.д.). Произвольный выбор, допустим, трех категорий из возможных десяти реализуется примерно 100 способами (10!/(3!7!)=120). Тогда для совокупности продуктов из 10 категорий получаем по крайней мере 100¹⁰ = 10²⁰ продуктовых корзин. Следовательно, простым перебором находить наилучшую из них не слишком осмысленно. Заметим, что пока еще не указан и критерий наилучшей корзины.

Во-вторых, компьютерная программа должна позволять составить корзину на произвольный временной диапазон по желанию пользователя. Вследствие этого надо иметь алгоритм преобразования среднегодового потребления продуктов питания на другой промежуток времени. Это преобразование не может быть просто количественным пропорциональным изменением масс потребляемых продуктов, но должно затрагивать также и сам их перечень. Например, при планировании питания на неделю не получится включить в него несколько десятков видов рыб, мясо всех птиц и животных и т.д.

Именно поэтому требуется некоторая априорная модель подбора корзины в «нулевом приближении», которую можно за небольшое количество итераций привести к рекомендуемому персонифицированному составу. Концепция такой модели изложена ниже в разделе 6.

В-третьих, исходные данные по химическому составу продуктов имеют естественный статистический разброс, поэтому нет гарантии, что подобранная продуктовая корзина фактически будет обладать нужным составом нутриентов. Следовательно, необходимо разработать индикатор, который показывал бы, что достаточная из практических соображений точность в составе нутриентов достигнута, а также и то, что предлагаемый набор продуктов имеет достаточное разнообразие как по категориям (см. табл. 22), так и по конкретным продуктам в подкатегориях.

Обозначим через A_ij нутриентную матрицу, элементы которой равны содержанию i-го нутриента в единице j-го продукта. Предположим, что распределения нутриентов в каждом продукте независимы и образуют совокупность нормально распределенных случайных величин со средним значением µ_ij и дисперсией . Тогда получаем, что нутриентный состав продуктовой корзины, определяемый формулой:

, (5.2.1)

есть нормально распределенная случайная величина со средним значением и дисперсией .

Далее можно обсуждать, при каком наборе продуктов корзина устойчивее по i-му нутриенту. Индексом устойчивости называется нормированное среднее:

. (5.2.2)

Чем выше индекс устойчивости, тем меньше относительное отклонение фактической величины нутриента от своего среднего значения.

Однако корзина характеризуется многими нутриентами. Оптимизировать ее по каждому нутриенту может не получиться, поскольку исходные дисперсии являются объективным свойством продукта и, как правило, не могут быть существенно изменены. Следовательно, надо разработать модель индикатора устойчивости корзины в целом. Кроме того, надо учесть, что балансируемые нутриенты эссенциальны, и потому отклонение каждого из них за пределы некоторых нормативных значений может привести (конечно, с некоторой индивидуальной вероятностью) к заболеваниям в зависимости от величин отклонений по каждому из нутриентов. Ранжирование превышения нормативов по степени опасности вероятных последствий с необходимой достоверностью в настоящее время еще достаточно сложно. Вследствие этого приходится экспертным образом вводить индивидуальные весовые коэффициенты w_i по отдельным нормированным индексам так, чтобы взвешенные индексы w_i были бы статистически и эссенциально равноценны. Построение таких коэффициентов — отдельная задача на стыке статистики, нутрициологии и медицины. В качестве ориентировочных значений можно предложить величины, полученные путем следующих рассуждений. Поскольку известны рекомендуемые пределы потребления каждого из нутриентов, а также известно и распределение величины (5.2.1), отвечающей построенной корзине продуктов, то можно вычислить вероятность того, что . Обозначим эту вероятность pi:

. (5.2.3)

Если вероятность (5.2.3) близка к единице, то в повышении устойчивости потребления данного нутриента нет необходимости, и потому нормированная величина (5.2.2) не существенна при оптимизации корзины в целом. Если же эта вероятность мала, то вклад соответствующей нормированной величины должен быть большим. Основные два варианта введения весов тогда выглядят следующим образом. Мы считаем, что либо веса обратно пропорциональны найденным вероятностям (сумма весов равна единице), то есть

, , (5.2.4)

либо веса пропорциональны вероятности выхода величиныX_i за пределы , то есть

. (5.2.5)

Число 14 в формуле (5.2.5) обусловлено нормировкой суммы вероятностей на единицу при выбранном числе балансируемых нутриентов, равном 15.

После того как указанные весовые коэффициенты определены и выбрана модель взвешивания, можно строить модель оптимизации устойчивости продуктовой корзины. Естественным представляется максимизация суммы взвешенных индексов:

, (5.2.6)

или, как вариант:

. (5.2.7)

Кроме введенного индикатора, существуют еще различные индексы [72] — индекс качества питания, индекс здорового питания, индекс разнообразного питания и другие, в которых также отражены различные данные о роли пищевых факторов в развитии алиментарно-зависимых хронических неинфекционных заболеваний. Это ранговые экспертные индикаторы, которые отражают точки зрения тех или иных диетологических систем. Поскольку в нашей монографии хронические неинфекционные заболевания не обсуждаются, то индикаторы типа индекса качества питания мы пока не включаем в процесс оптимизации.

Пусть теперь в результате некоторого подбора продуктовой корзины получены конкретные величины X_i, определяемые по формуле (5.2.1). Обозначим их отклонения от рекомендованных значений E_i, которым в идеале должны быть равны средние значения , через δi:

. (5.2.8)

Тогда можно определить взвешенную относительную ошибку корзины по формуле:

, (5.2.9)

где весовые коэффициенты w_i определены по формуле (5.2.5). Этот индикатор дополняет индекс устойчивости (5.2.6) или (5.2.7), поскольку предыдущие выражения не отражали точность выполнения рекомендаций по питанию. Здесь оптимизация корзины состоит в том, что выбирается тот вариант, при котором .

Поскольку целевая функция нутрициологии — улучшение здоровья людей и, как следствие, увеличение продолжительности жизни, то одной из важных моделей является формулировка зависимости ожидаемой продолжительности жизни от качества питания. Для построения такой модели надо использовать демографическое уравнение и дополнить зависимость коэффициентов, определяющих его решение, от индикаторов оптимального питания.

Горизонт планирования в данном случае есть продолжительность жизни, то есть величина, много большая, чем 1 год. Тогда вместо дискретной модели вида (2.2.1) можно использовать уравнение изменения численности возрастных групп в дифференциальной форме, а уравнение воспроизводства населения — в интегральной форме. Имеет также смысл основываться на базовом сценарии, предполагающем, что коэффициенты рождаемости и смертности по популяции не меняются со временем. Этот подход призван оценить возможные изменения среднестатистической продолжительности жизни вследствие оптимизации структуры питания при прочих равных условиях. Соответствующая система уравнений имеет вид [73]:

(5.3.1)

Эта система имеет точное аналитическое решение. Запишем его для краткости только для женской части населения, так как для мужской решение имеет аналогичный вид:

(5.3.2)

Величина Q^F(a) называется функцией дожития. Она представляет собой экспоненту от накопленной повозрастной функции смертности. Постоянные коэффициенты r и s в (5.3.2) определяются по начальному распределению и функции рождаемости.

Вводятся функции:

, (5.3.3)

, (5.3.4)

а также их образы после преобразования Лапласа , , где

. (5.3.5)

Величина s в (5.3.2) есть корень уравнения ; в силу пологости функции Q(a) и унимодального вида функции рождаемости B(a) (см. рис. 2) это решение приближенно равно обратному возрасту матери в модели распределения (возрасту поколения) . Постоянная r в (5.3.2) определяется начальным распределением согласно формуле:

. (5.3.6)

Из приведенного решения (5.3.2) следует, что ключевым демографическим параметром, определяющим продолжительность жизни, является накопленный коэффициент смертности. Именно на него может быть оказано влияние посредством оптимизации системы питания. Важной моделью в этом смысле является модель стабильного населения, определяемая условием:

. (5.3.7)

Для этой модели численность населения в каждой возрастной когорте постоянна, а само распределение по возрастам имеет вид:

N(a) = N(0)Q(a). (5.3.8)

Для коэффициентов смертности, представленных на рис. 3, модель стабильного населения имеет следующий вид (рис. 6).

Сравнивая этот график с реальным распределением населения России (см. рис. 1), видим, что, если бы не внешние причины и локальный по времени эффект снижения рождаемости, в целом эта модель адекватно описывала бы основную тенденцию, связанную со старением. Тогда роль тех или иных действий, улучшающих здоровье населения, сводится в плане модели к снижению повозрастного коэффициента смертности, то есть к поднятию кривой дожития, что означает увеличение вероятности дожить до определенного возраста. Опишем соответствующую модель в линейном приближении по отклонению от оптимальных рекомендаций применительно к продуктовой корзине.

Предположим, что при правильном питании, когда отклонение δ_i в формуле (5.2.8) не выводит потребление данного нутриента за пределы , коэффициент смертности равен некоторой величине q(a), а в случае превышения этих границ он возрастает в соответствии с тем, насколько, по представлениям современной медицины, сокращается в среднем жизнь от развития сопутствующих заболеваний. Определим величину p′_i следующим образом. Если , то

p′i = ,

а если , то

p′_i = . (5.3.9)

Мерой отклонения потребления i-го нутриента от оптимального будем считать величину λ_i =p′_i–p_i, где p_i определена в (5.2.3). Тогда

либо

. (5.3.10)

Пусть по оценкам средняя продолжительность жизни, определяемая как

, (5.3.11)

сократилась в силу неправильного питания по i-му нутриенту на a′_i лет в силу того, что коэффициент смертности возрос на величину c_i λ_i (для простоты равномерно во всех возрастах). Считая вклады от разных причин смертности суммирующимися, получаем связь средней продолжительности жизни с индикатором оптимального питания:

. (5.3.12)

Эта формула дает связь между эмпирическими данными в виде a′_i и λ_i и модельными коэффициентами c_i, если известны соответствующие увеличения коэффициентов смертности. Поскольку коэффициенты смертности малы, как и поправки к ним, то линейное приближение по Λ в (5.3.12) вполне адекватно. Тогда, разлагая экспоненту в ряд до члена первого порядка по Λ, получаем:

. (5.3.13)

Коэффициент при c_i λ_i в (5.3.13) определяется по моменту первого порядка функции Q(a). По данным за 2017 г. для населения России (в данном примере расчет для женщин) лет, дисперсия продолжительности жизни равна =219 (лет в квадрате), а интеграл (лет в квадрате), так что коэффициенты c_i оцениваются формулой:

. (5.3.14)

Формула (5.3.14) позволяет определить коэффициенты в модели (5.3.12) на основе имеющихся эмпирических данных о снижении смертности в результате оптимизации структуры питания, после чего модель (5.3.12) может использоваться для оценки изменения продолжительности жизни в зависимости от выбора той или иной диеты.

Поставим задачу определения величин порций продуктов (и блюд) M_j на основе известной нутриентной матрицы A_ij исходя из того, что нутриентный состав корзины продуктов (или меню блюд) в (5.2.1) равен рекомендуемым значениям норм физиологических потребностей Ei:

. (5.4.1)

При этом компоненты вектора решения (величины порций блюд) должны быть строго положительны.

Матрица A_ij представляет основную характеристику базы данных цифровой нутрициологии. Ее базисный минор определяет точность, с которой определяется весовой состав блюд меню. Формально решение уравнения (5.4.1) осуществляется средствами аппарата вычислительной линейной алгебры в зависимости от структуры матрицы A_ij. Однако на практике могут возникнуть вычислительные трудности, связанные с плохой обусловленностью нутриентной матрицы.

Вариант 1. Число K блюд меню в точности равно числу балансируемых нутриентов. Матрица A_ij в этом случае — квадратная размерами 15 × 15. Если эта матрица невырождена, то существует обратная матрица A^–1, которая также считается известной, после чего решение уравнения (5.3.13) имеет вид:

M = A^–1E. (5.4.2)

Вариант 2. Число K блюд меню меньше числа балансируемых нутриентов. Тогда матрица A_ij — прямоугольная размерами 15 × K, базисный минор имеет ранг K < 15. Система в общем случае несовместна, то есть получить решение задачи по всем нутриентам невозможно. Необходимое условие существования решения — rang A = rang[A,E], где [A,E] — расширенная матрица, полученная из матрицы A добавлением вектора E в качестве дополнительного столбца. В случае, когда это известное из курса линейной алгебры условие не выполнено, ищем обобщенное решение этой задачи, доставляющее минимум функции:

. (5.4.3)

Известно [74], что эта задача всегда имеет решение. Если при этом оказалось, что rang A=K, то решение единственное. Оно ищется из необходимого условия экстремума и имеет вид:

M = (A^TA)^–1A^TE, (5.4.4)

где A^T — транспонированная матрица, причем A^TA — положительно определенная и, в частности, невырожденная матрица.

Вариант 3. Число K блюд меню больше числа балансируемых нутриентов. Тогда базисный минор имеет ранг 15, а система (5.4.1) в общем случае имеет более одного решения. Представим матрицу A в блочном виде, выделив базисный минор G и оставшуюся подматрицу U:

.

Тогда уравнение (5.4.1) имеет вид:

. (5.4.5)

Таким образом, коэффициенты использования первых 15 блюд меню зависят от произвольно выбранных неотрицательных коэффициентов остальных K–15 блюд при условии неотрицательности решения относительно всех компонент:

. (5.4.6)

Следовательно, алгоритм действий по составлению суточного меню состоит в выборе доминирующего по нутриентам базисного минора.

При составлении рациона питания на определенное число дней или на определенное количество приемов пищи важно оценивать вклад того или иного блюда или продукта (составной части блюда) в калорийность рациона и в нутриентный состав.

Рассмотрим продуктовый рацион питания на определенный промежуток времени в T дней. Пусть составлена продуктовая корзина, состоящая из K продуктов или блюд, в единице массы каждого из которых содержится известное количество (в массовых единицах) нутриентов.

Обозначим через A_ij нутриентную матрицу, безразмерные элементы которой равны содержанию i-го нутриента в единице j-го продукта. Первые три строки нутриентной матрицы отвечают соответственно белкам, жирам и углеводам. Пусть также есть масса j-го продукта. Тогда среднесуточная калорийность рациона определяется по формуле:

, (5.5.1)

где

(5.5.2)

и удельные калорийности равны для белков e₁ = 4 ккал/г, жиров — e₂ = 9 ккал/г, углеводов — e₃ = 4 ккал/г. Полная калорийность рациона получается из средней суточной (5.5.2) среднесуточное содержание (в массовых единицах) остальных нутриентов:

. (5.5.3)

Массовое количество i-го нутриента в массе j-го продукта определяется по формуле:

, (5.5.4)

в которой суммирования по продуктам нет. Долевое участие j-го продукта в обеспечении пищевого рациона заданным -м нутриентом определяется формулой:

. (5.5.5)

Полезно сравнить потребление i-го нутриента вj-м продукте с рекомендуемой нормой . Величина

(5.5.6)

показывает долю рекомендуемого потребления данного нутриента за период времени T дней на основе выбранного продукта питания.

Для расчета калорийности отдельного продукта или блюда используем формулы (5.5.1), (5.5.2) и (5.5.3). Имеем:

(5.5.7)

Представленные формулы позволяют определить долю калорийности данного продукта в общем рационе, а также долю белков, жиров и углеводов как в составе макронутриентов, так и в калорийности рациона.

Разработка базовых продуктовых наборов и соответствующих меню является главной составляющей компьютерной программы составления режима питания для конкретного пользователя.

В основе лежит принцип иерархического построения базы данных продуктов и блюд, где продукты сгруппированы в большие категории (см. табл. 22), каждая из которых содержит подкатегории, для которых известны данные по химическому составу. Поскольку некоторые продукты являются одновременно блюдами (хлеб, макароны, крупы в виде каш, кондитерские изделия в пересчете на сахар), то с точки зрения алгоритмизации задачи их удобно выделить в отдельные категории, которых, таким образом, становится 15, как и нутриентов: хлеб, макароны, крупы, остальные хлебобулочные изделия, мясо животных, мясо птиц, мясо рыб, картофель, овощи и бахчевые, фрукты и ягоды, сахар, остальные кондитерские изделия, масло растительное, молочные продукты, яйца.

Для выбора блюд меню из базы данных продуктов и блюд удобно использовать двойное маркирование блюд, привязывающее их к категории блюда (суп, каша, мясное второе блюдо, салат, напиток и т.п.) и к формату приема пищи (завтрак, обед, перекус, ужин). Выбор блюд естественно ранжировать по убыванию частоты их употребления в каждом формате приема пищи. Таким образом, чтобы реализовать модель выбора блюд, надо снабдить каждое блюдо, допустимое к приему пищи на завтрак, обед и другие приемы пищи, частотой его суточного использования, то есть эмпирической вероятностью, трактуемой как оценка генеральной вероятности. Для этого используется как экспертный подход, состоящий в отборе определенных типов блюд, так и эмпирический, основанный на данных табл. 22, из которых можно определить среднесуточное потребление продуктов по категориям. Однако при составлении меню нужны не категории продуктов, а категории блюд (некоторые совпадают с категориями продуктов).

Мы выделяем 15 основных категорий блюд: 1 — салат; 2 — горячая закуска; 3 — холодная закуска; 4 — первое блюдо; 5 — второе блюдо; 6 — гарнир; 7 — каша; 8 — приправы; 9 — молочные продукты и яйца; 10 — кисломолочные продукты; 11 — фрукты и сухофрукты; 12 — хлеб; 13 — остальные хлебобулочные изделия (кроме хлеба и макарон, включенных в гарнир); 14 — кондитерские изделия и сахар; 15 — напиток.

Далее экспертно выбирается формат меню, в котором устанавливаются категории блюд, употребляемых в данном приеме пищи. Например, обед, состоящий из двух блюд: первое и напиток. Или обед, состоящий из восьми блюд: салат, первое, второе, гарнир, соус, хлеб, кондитерское изделие, напиток. Количество вариантов меню должно быть достаточным для создания разнообразного питания в зависимости от пожеланий пользователя.

С каждой категорией блюда, установленного в формате меню для каждого приема пищи, связывается подкатегория — собственно блюд. Например, категория «салат» включает подкатегории: 1.1 — из помидоров с луком репчатым с растительным маслом, 1.2 — из помидоров, огурцов и зелени со сметаной, 1.3 — оливье, 1.4 — из помидоров с салатом, курицей и яйцом, 1.5 — из капусты с яблоками и т.д.

Далее для каждого блюда устанавливается частота его использования на основе анализа годового потребления продуктов. Рассмотрим, например, получение оценки частоты употребления первых блюд. Из данных [71] следует, что мясо (животных, птиц и рыб) употребляется в пищу на уровне 72 кг в год, или примерно по 200 г в сутки. Исходя из того, что в первом блюде собственно мяса содержится около 50 г на порцию, заключаем, что примерно 25% мясной продукции идет на приготовление первых блюд. Из них 42% — мясо животных, 37% — мясо птиц, 21% — мясо рыб. Кроме того, в качестве первого употребляются такие сезонные блюда, как окрошка на квасе, молочные супы, овощные супы-пюре. Долю таких блюд оценим в 10% от общего количества первых блюд. В этом случае доля супов на мясном бульоне перенормируется на суммарную величину 90%. Из них одну седьмую часть (то есть примерно 14%) отведем на рассольник, харчо и щи из квашеной капусты. Следовательно, если мы рассматриваем основные первые блюда, то в среднем получаются такие суточные частоты их употребления:

Наименьшей частотой употребления в этом перечне является величина p_min = 0,02. Наибольшая частота употребления равна p_max = 0,28. Следовательно, минимальное количество дней, для которых можно составить меню, включающее все перечисленные блюда, равно T = 1/p_min = 50. В течение этого времени пользователю будет предложено меню, в котором каждое первое блюдо используется в количестве pT раз (естественно, округление проводится до ближайшего целого числа). Так, куриный суп будет предложен 14 раз, борщ — 6 раз, суп на мясном бульоне — 6 раз, щи — 6 раз (в том числе из квашеной капусты 2 раза) и т.д. Если требуется составить план на меньшее число дней T′ < T, то выбираются частоты использования блюд, превосходящие , начиная от наибольшей частоты p_max. Если T′ < 1/p_max 3, то все суточные меню содержат одно и то же первое блюдо. Если T′ > 1/p_max, то начинают добавляться блюда в соответствии с убыванием их оцененных частот.

Если T′ > T, то первые n = [T′/T] временных промежутков по 50 дней повторяют составленное на 50 дней меню, а остаток, который меньше T дней, планируется по вышеописанному способу, когда T′ < T.

Аналогично рассматриваются, например, гарниры. Исходя из величины порции гарнира в 150 г для круп, 200 г для картофеля, овощей и макаронных изделий, в соответствии с данными [71] получаем, что рис и макароны употребляются как блюдо 1 раз в неделю (то есть суточная частота их потребления равна примерно 0,14), все остальные крупы и бобовые — 2 раза в неделю, картофель — 1 раз в день, овощи — 2 раза в день.

Хлеб употребляется ежедневно в количестве четырех порционных кусков пшеничного и двух кусков ржаного.

Таким же способом определяются априорные частоты употребления и других категорий блюд. В пределах одного дня каждое блюдо выбирается только один раз. В табл. 24 приведен фрагмент перечня выбираемых блюд.

На основании этой таблицы организуется алгоритм построения меню блюд на заданный горизонт по описанному выше правилу. При этом считаем, что химический состав на 100 г каждого блюда меню известен из базы данных.

В результате база данных продуктов и блюд структурируется на подразделы, каждый из которых отвечает определенному приему пищи в течение суток и в которых содержатся варианты типовых меню.

В работе М.Б. Гаврикова и соавт. [75] описана клиент-серверная организация системы управления базами данных для реализации решения данной задачи цифровой нутрициологии по выбору меню блюд и расчета величины их порций. В качестве системы хранения данных была выбрана объектно-реляционная система управления базами данных [76] с открытым исходным кодом PostgreSQL. Отметим, что PostgreSQL обладает рядом преимуществ по сравнению с обычными реляционными базами данных. Одним из них является поддержка широкого спектра структур и типов данных: uuid, денежного, перечисляемого, геометрического, бинарного типов, сетевых адресов, битовых строк, текстового поиска, xml, json, массивов, композитных типов и диапазонов, а также некоторых внутренних типов для идентификации объектов.

Кроме большого количества поддерживаемых структур, в PostgreSQL предусмотрена интеграция с языками программирования C++, Python, Perl.

Поддержка такого количества структур упрощает работу с базой данных и улучшает гибкость использования такой системы управления базами данных в задачах машинного обучения и при разработке программного обеспечения.

После того как построена программная среда для проведения вычислений, можно перейти к численной реализации формул (5.29) (5.4.2), (5.33) (5.4.6).

Предположим, что на основе построенного перечня блюд конкретного меню и заданного вектора потребностей делается расчет величин порций на каждый день. Для простоты рассмотрим здесь ситуацию, когда число блюд точно равно числу балансируемых нутриентов.

Пусть требуется составить меню питания для пользователя с определенными биометрическими параметрами в соответствии с рекомендациями Минздрава. Напомним, что эти рекомендации относятся к среднесуточному потреблению нутриентов, три из которых (белки, жиры, углеводы) должны быть сбалансированы посуточно, а остальные нутриенты балансируются в смысле средних значений. Требуется установить зависимость точности , с которой выполнены рекомендации Минздрава, от горизонта планирования при заданном формате меню.

Поскольку суточное потребление нутриентов представляет собой вектор в 15-мерном пространстве, причем по каждой эссенциальной компоненте задаются свои пределы погрешности, естественно оценивать точность покомпонентно. Меню считается сбалансированным, если оно теоретически содержит точное количество макронутриентов, а среднесуточное значение i-го микронутриента , потребляемого за период дней, имеет относительные отклонения от рекомендованных значений , лежащие в заданных пределах для всех i:

(6.2.1)

Для простоты будем рассматривать модельную задачу, в которой требуемая относительная точность одинакова для всех микронутриентов: . Кроме того, следует учесть, что содержание нутриентов в конкретном продукте не постоянно, а имеет предположительно нормальное распределение со средним значением, корреспондирующим с базой данных, и дисперсией .

Обозначим через A_ij нутриентную матрицу, элементы которой равны среднему содержанию i-го нутриента в единице j-го продукта. Продукты входят в состав блюд в соответствии с рецептурой, которая считается известной, поэтому матрицу A_ij можно связать также и с конкретным блюдом, считая его продуктом из базы данных.

Пусть есть масса j-го продукта. Тогда в нем в среднем содержится единиц i-го нутриента. По группе из K продуктов ожидаемое (то есть среднее) количество i-го нутриента равно:

. (6.2.2)

Дисперсия этой величины равна:

, (6.2.3)

а относительная дисперсия, характеризующая априорную погрешность в оценке содержания i-го нутриента в данной группе продуктов, равна:

. (6.2.4)

Подчеркнем, что при желаемая точность построения меню заведомо недостижима. Именно поэтому критический уровень , зависящий, как это следует из (6.2.4), от состава меню, отвечает идеальному решению подбора продуктов, когда ошибка в смысле (6.2.1) равна нулю. Область, в которой ищется решение, должна в общем случае удовлетворять условию:

. (6.2.5)

Например, если , а , то меню будет сбалансировано, если погрешность по каждому из нутриентов не будет превосходить величины .

Формулу (6.2.5) можно также рассматривать как оценку наилучшей точности содержания данного нутриента в рамках выбранного меню и горизонта планирования, поскольку может оказаться, что на заданном горизонте точность содержания нутриента ограничена снизу.

Расчеты показывают, что сбалансировать все 15 нутриентов в течение одного дня в рамках традиционной схемы питания невозможно. Именно поэтому для разработки численного алгоритма составления оптимальных порций меню поступим следующим образом. Исходя из трехразовой схемы питания и рекомендуемых долей каждого приема пищи по калорийности, объединяем блюда каждого приема пищи в три категории, как описано в предыдущем разделе. Подчеркнем, что наименования блюд уже заданы в соответствии с частотой их употребления и горизонтом планирования. На данном этапе требуется определить массы блюд. Для этого определяем массы каждой категории блюд в соответствии с заданной суточной калорийностью питания Q. Для среднестатистического человека ккал. Из них 320 ккал поступает с потреблением белков, 970 ккал — жиров и 1340 ккал — углеводов. Таким образом, соответствующие доли этих нутриентов по калорийности составляют . Поскольку удельные калорийности равны для белка e₁ = 4 ккал/г, жира — e₂ = 9 ккал/г, углеводов — e₃ = 4 ккал/г, то массы суточного потребления этих нутриентов фиксированы и равны (в граммах) . В среднем рекомендуемые массовые доли макронутриентов животного происхождения составляют , что накладывает дополнительные ограничения на структуру оптимального меню.

По калорийности рекомендуется три приема пищи разделять в пропорциях (завтрак, обед, ужин). Если сохранить пропорции для каждого приема пищи, что, конечно, сокращает число вариантов, но упрощает вычисления, то можно зафиксировать рекомендуемое массовое содержание макронутриентов на завтрак, обед и ужин:

(6.2.6)

В итоге мы можем определить массы блюд, употребляемых в каждый из указанных приемов пищи. Обозначим фрагмент нутриентной матрицы размером 3×3, отвечающей содержанию i-го макронутриента в j-м укрупненном блюде k-го приема пищи в день n согласно выбранному на этот день меню. Тогда масса j-го укрупненного блюда находится из решения системы:

. (6.2.7)

Следовательно, зная состав укрупненного блюда, мы можем найти величины порций отдельных блюд, потребляемых в течение дня n, после чего по формуле (6.2.2) определить количество всех потребленных нутриентов в этот день. Затем по формуле (6.2.1) находим отклонение от рекомендованных средних значений по каждому нутриенту, а по формулам (6.2.3) и (6.2.4) определяем относительные погрешности, с которыми известно содержание нутриентов для выбранного меню. Для простоты будем считать дисперсии содержания нутриентов постоянными, равными , рассматривая эту величину в качестве одного из параметров задачи. Тогда относительная погрешность определяется по формуле:

. (6.2.8)

Далее анализируем два типа статистик вычисленных отклонений.

Во-первых, строим функцию распределения отклонений по данным за T дней для каждого микронутриента. В частности, вычисляем среднее значение и дисперсию . Эта статистика важна для понимания того, насколько варьируется потребление нутриентов по дням.

Во-вторых, рассматриваем статистику отклонений накопленных средних значений нутриентов как функцию времени t. Вводим величину

(6.2.9)

и рассматриваем отклонение среднего значения в растущем окне:

. (6.2.10)

Представляет интерес выяснение того, сходится ли, и насколько быстро, последовательность к рекомендуемым значениям в зависимости от выбираемых меню. Кроме того, важно понимать, какие требования по точности реализации рекомендаций корректно выставлять, поскольку должно выполняться условие , где вычисляется по формуле:

. (6.2.11)

Предположим, что на основе построенного перечня блюд конкретного меню и заданного вектора потребностей делается расчет величин порций на каждый день. Для простоты рассмотрим здесь ситуацию, когда число блюд точно равно числу балансируемых нутриентов.

Пример такого меню на день: 1 — творог со сметаной и медом, 2 — хлеб пшеничный с сыром и сливочным маслом, 3 — чай, 4 — салат из свежих огурцов и помидоров с зеленым луком и оливковым маслом, 5 — суп-щи зеленые со сметаной и яйцом, 6 — хлеб ржаной, 7 — картофель жареный, 8 — мясная поджарка из говядины, 9 — шоколадная конфета, 10 — компот из сухофруктов, 11 — апельсин, 12 — кофе, 13 — печенье, 14 — каша гречневая на молоке, 15 — булочка с повидлом.

Матрица нутриентов A_ij невырождена, но, проведя формальные вычисления по вышеприведенным формулам, получаем в качестве решения вектор, часть компонент которого отрицательна, что не имеет смысла, а некоторые величины порций аномально велики.

Первая причина такого поведения решения состоит в том, что некоторые нутриенты малых концентраций присутствуют только в одном каком-нибудь блюде, так что его приходится взять настолько много, что другое блюдо для баланса уже других нутриентов приходится брать с отрицательным весом. Следовательно, суточный расчет несостоятелен из-за невозможности каждый день реализовывать в питании средние нормативы, полученные усреднением за год. Именно поэтому меню надо составлять на достаточно большой промежуток времени, как указывалось выше. После этого вместо исходной задачи решается уравнение относительно величин порций для меню на горизонт планирования T > 50, а затем проводится сопоставление этих блюд по дням с учетом уже имеющихся требований по калорийности суточного потребления.

Однако этот подход еще не полностью устраняет вычислительные артефакты. Вторая причина состоит в том, что нутриентная матрица A для выбранного меню является хоть и невырожденной, но плохо обусловленной, а элементы базы данных по химическому составу блюд известны с точностью порядка 10–15%, что существенно больше, чем требуемая точность элементов матрицы для разделения точек спектра. Спектральный портрет матрицы A указанного суточного меню приведен на рис. 7 (см. цв. вклейку).

Следуя монографии С.К. Годунова [77], будем определять число как принадлежащее ε-спектру матрицы , если существует такая возмущающая ее матрица Δ, что и , где — единичная матрица. Через резольвенту принадлежность числа -спектру матрицы определяется условием:

. (6.3.1)

При исследовании расположения точек спектра вызывают интерес замкнутые гладкие кривые , представляющие изолинии -спектра. Контур разбивает весь -спектр на две части, лежащие внутри и вне его. Качество разделения -спектра матрицы оценивается нормой квадрата резольвенты (5.1.1) на данной кривой:

. (6.3.2)

Здесь есть длина контура . Величину удобно выбрать как индикатор точности разделения спектра: если на кривой нет точек спектра , то норма резольвенты на такой кривой конечна: , как и интеграл от нее по этой кривой. Совокупность изолиний , отвечающих различным относительным возмущениям , называется спектральным портретом матрицы .

В качестве матрицы будем рассматривать фрагмент нутриентной матрицы , отвечающей выбранным продуктам и блюдам в соответствии с их принадлежностью 15 вышеописанным типам блюд меню (см. табл. 24). Таким образом, — это матрица 15×15, отвечающая содержанию нутриентов типа в блюдах категории , отобранных в меню в день n.

Характерный вид спектрального портрета такой матрицы представлен на рис. 7.

Из рис. 7 следует, что для различения всех собственных значений матрицы и, следовательно, корректного решения уравнения относительно величин порций блюд , имеющего вид:

, (6.3.3)

элементы матрицы должны быть известны по крайней мере с точностью , что на самом деле не реализуется.

В качестве альтернативного метода мы предлагаем точно решать уравнения баланса только относительно макронутриентов — белков, жиров и углеводов. Объединение продуктов осуществляется путем выбора строк матрицы с доминирующими элементами, относящимися к макронутриентам. Пример результата расчета для такой матрицы 3×3, отвечающей одному из приемов пищи, представлен на рис. 8 (см. цв. вклейку).

Из рис. 8 видно, что собственные значения идентифицируются, начиная с точности примерно 0,4 (). Это означает, что даже для весьма неточных измерений химического состава блюд решение задачи для макронутриентов будет корректным. Как было выяснено выше в разделе 4, хотя микронутриенты при таком подходе специально не балансируются, тем не менее их величины при усреднении за 20–30 дней становятся близки к рекомендуемым значениям. Обозначим тогда через массы всех 15 типов блюд меню, вычисленных косвенно через решение задачи 3×3 о балансе белков, жиров и углеводов за день по трем приемам пищи. Накопленная расчетная масса блюд j-го типа в день определяется тогда как сумма:

. (6.3.4)

Соответствующее накопленное количество нутриентов есть :

. (6.3.5)

Рассмотрим теперь матрицу , связывающую накопленное количество нутриентов с суммарным потреблением блюд массой , так что

.

Отсюда следует, что может быть определена для каждого -го нутриента как средневзвешенная по типам продуктов матрица :

. (6.3.6)

Построив последовательность спектральных портретов для матриц , мы получаем «траектории» областей, содержащих собственные значения с точностью, достаточной для их раздельного позиционирования. Наибольший порядок возмущения матрицы , при котором начинает происходить разделение точек спектра, служит критерием разрешимости задачи. Следует учесть, что это точность, с которой можно удовлетворить нормам потребления нутриентов. Также, если разделение спектра происходит при возмущении меньшем, чем в соответствии с (6.2.11), то прямое решение задачи о структуре и величинах блюд меню с помощью матрицы невозможно, и следует решать задачу косвенным методом через баланс макронутриентов, как это было описано выше.

Результаты расчета калорийности суточного меню приведены на рис. 9.

Оставшиеся 12 нутриентов определяются после исключения из исходной системы блюд, дававших основной вклад в калорийность питания, величины порций которых были определены из решения системы 3×3. Соответствующее потребление всех нутриентов в сравнении с нормой приведено на рис. 10.

Таким образом, предложенный двухступенчатый метод решения задачи определения величин порций меню позволил ее решить.

Представляет также интерес анализ скорости установления рекомендуемых пропорций потребления нутриентов в зависимости от типов диет.